Al igual que los chinos, los indios habían descubierto los beneficios del sistema de valor de posición decimal y lo estaban utilizando a mediados del siglo III d.C.
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La explosión de ideas matemáticas en India que alumbró desde el cero hasta el infinito
El primer gran regalo matemático de India vino del mundo de los números.
(Foto Prensa Libre: Getty Images)
Es el mismo que usamos hoy en día, según el cual, la posición en la que están los números nos indica las unidades, decenas, cientos, miles y así sucesivamente.
No se sabe si los indios lo aprendieron de los comerciantes chinos o si lo idearon ellos mismos.
Lo cierto es que los indios lo refinaron y perfeccionaron, creando los ancestros para los nueve números que se usan en todo el mundo ahora.
Muchos califican al sistema indio de contar como una de las mayores innovaciones intelectuales de todos los tiempos y son lo más cercano a lo que podríamos llamar un lenguaje universal.
Pero faltaba un número y fue India la que se lo dio al mundo.
El primer registro conocido de este número data del siglo IX, aunque probablemente estuvo en uso práctico durante siglos antes.
Este extraño número nuevo está grabado en la pared del pequeño templo en el fuerte de Gwalior en el centro de India, uno de los lugares sagrados del mundo matemático.
El cero
Es sorprendente pensar que antes de que los indios lo inventaran, no había cero.
Para los antiguos griegos, simplemente no existió.
Entre los egipcios, los mesopotámicos y los chinos el cero había estado en uso, pero como un marcador de posición, un espacio vacío.
Los indios transformaron al cero en un número que tenía sentido por derecho propio, un número para el cálculo, para la investigación.
Este brillante salto conceptual revolucionó las matemáticas.
Desde ese momento, con solo diez dígitos, del cero al nueve, de repente era posible capturar números astronómicamente grandes de una manera increíblemente eficiente.
¿Cómo dieron los indios un paso tan imaginativo?
Nunca lo sabremos con seguridad, pero es posible que la idea y el símbolo que los indios usan para el cero provinieran de cálculos que hacían con piedras en el suelo.
Cuando eliminaban las piedras al hacer cálculos, quedaba un agujero pequeño y redondo en su lugar, que representa el movimiento de algo a nada.
Aunque quizás también hubo una razón cultural para la invención de este número.
Para los antiguos indios, los conceptos de la nada y la eternidad son el centro de su sistema de creencias.
En las religiones de India, el Universo nació de la nada y la nada es el objetivo final de la humanidad.
Entonces, tal vez no sea sorprendente que una cultura que acogió con tal entusiasmo el vacío pudiera acomodar sin problema la noción del cero.
Los indios incluso utilizaron la palabra para la idea filosófica del vacío, “shunya“, para representar el nuevo término matemático “cero”.
Del 0 al infinito
En el siglo VII, el brillante matemático indio Brahmagupta demostró algunas de las propiedades esenciales de cero.
Las reglas de Brahmagupta sobre el cálculo con cero se enseñan en las escuelas de todo el mundo hasta el día de hoy.
1 + 0 = 1
1 – 0 = 1
1 x 0 = 0
Pero Brahmagupta se topó con un problema cuando trató de dividir uno entre cero.
¿Qué número multiplicado por cero es igual a uno?
La solución requeriría un nuevo concepto matemático: el de infinito.
Sólo eso le daría sentido a la división por cero y el avance fue realizado por un matemático indio del siglo XII llamado Bhaskara II.
¿Cómo lo hizo?
Si tomas una fruta y la partes por la mitad, obtienes dos pedazos.
Si la divides en tercios, te quedan tres pedazos.
Si continúas dividiéndola en fracciones cada vez más pequeñas, tendrás más y más pedazos.
Eventualmente, cuando las fracciones se reduzcan a cero, tendrás infinitos pedazos.
Bhaskara razonó que uno dividido por cero es igual a infinito.
Pero los indios irían todavía más lejos en sus cálculos con el cero.
Una nada diferente
Hasta entonces estaba aceptado que, por ejemplo: 3 – 3 = 0.
Pero ¿qué sucede cuando tienes tres y le restas cuatro?
Parece que no tienes nada, pero los indios reconocieron que se trataba de un nuevo tipo de nada: números negativos.
Los indios los llamaron “deudas”, porque resolvieron ecuaciones como: “Si tengo tres lotes de tela y uso cuatro, ¿cuántos me quedan?”.
Esto puede parecer extraño y poco práctico, pero esa era la belleza de las matemáticas indias.
Los indios tuvieron la capacidad de llegar a números negativos y al cero porque concebían los números como entidades abstractas.
No eran algo que solo servía para contar o para medir piezas de tela: tenían una vida propia, flotaban sin ataduras con el mundo real.
Y eso fue lo que llevó a una explosión de ideas matemáticas.
Las X y las Y
El enfoque abstracto de los indios a las matemáticas pronto reveló un nuevo aspecto del problema de cómo resolver ecuaciones cuadráticas, es decir, ecuaciones que incluyen números a la potencia de dos.
La comprensión de Brahmagupta de los números negativos le permitió ver que las ecuaciones cuadráticas siempre tienen dos soluciones, una de las cuales podía ser negativa.
Brahmagupta fue aún más lejos, resolviendo ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas, algo que en Occidente no se consideraría hasta 1657, cuando el matemático francés Pierre de Fermat retó a sus colegas con el mismo problema, sin saber que el brillante indio había encontrado la solución 1.000 años antes.
Brahmagupta no solo encontró formas abstractas de resolver ecuaciones, sino que, asombrosamente, también desarrolló un nuevo lenguaje matemático para expresar esa abstracción.
Al experimentar con formas de escribir sus ecuaciones, usó las iniciales de los nombres de diferentes colores para representar incógnitas.
Eso fue lo que llevó a las X y las Y que usamos en matemáticas hasta hoy en día.
Como si fuera poco…
Los matemáticos indios fueron responsables de hacer nuevos descubrimientos fundamentales en la teoría de la trigonometría.
La trigonometría es como un diccionario, pues traduce la geometría en números y viceversa.
Aunque los primeros en desarrollarla fueron los antiguos griegos, floreció en manos de los indios.
En esencia, la trigonometría estudia los triángulos rectángulos.
En este triángulo, por ejemplo, sabes que el ángulo es de 30º.
Esa información es suficiente para encontrar la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa usando la función seno.
¡Suena complicado! Pero lo que nos dice es que hay una relación de uno a dos, o sea que el cateto tiene la mitad de la longitud de la hipotenusa.
Con esa función puedes calcular distancias cuando no es difícil hacer mediciones precisas.
Por eso se sigue usando mucho en arquitectura e ingeniería.
En su época, los indios la usaron para estudiar el mundo que los rodeaba, navegar por los mares y trazar las profundidades del espacio.
Matemáticas en el espacio
Valiéndose de la trigonometría, los astrónomos indios pudieron calcular la distancia relativa entre la Tierra y la Luna, y de la Tierra y el Sol.
Solo puedes hacer el cálculo cuando la Luna está medio llena, porque es cuando está directamente opuesta al Sol.
En ese momento, el Sol, la Luna y la Tierra crean un triángulo rectángulo.
Los antiguos indios pudieron medir que el ángulo entre el Sol y su observatorio era de una séptima parte de un grado. La función sinusoidal de un séptimo de grado da la relación de 400: 1.
Eso significa que el Sol está 400 veces más lejos de la Tierra que la Luna.
Fue así como los matemáticos indios pudieron explorar el Sistema Solar sin tener que abandonar la superficie de la Tierra.
Infinito y más allá
Los antiguos griegos habían sido los primeros en explorar la función seno, enumerando valores precisos para algunos ángulos, pero no podían calcular los senos de cada ángulo.
Los indios fueron mucho más lejos, planteándose una tarea gigantesca: encontrar una manera de calcular la función seno de cualquier ángulo.
El avance en la búsqueda de la función sinusoidal de cada ángulo se hizo en Kerala, en el sur de la India.
En el siglo XV, esa parte del país se convirtió en el hogar de una de las escuelas de matemáticos más brillantes que jamás haya existido.
Su líder se llamaba Madhava e hizo descubrimientos matemáticos extraordinarios, como que podías sumar infinitas cosas con efectos dramáticos.
Un ejemplo: imagínate que quieres recorrer la distancia que hay entre tú y la puerta de una habitación.
Puedes llegar a la mitad, detenerte. Luego recorrer 1/4 de la distancia que te queda; después 1/8… 1/16… y así sucesivamente.
Cuanto más pequeñas son las fracciones que recorres, más te acercas a 1, pero solo llegarás cuando hayas sumado infinitas fracciones.
Pero ¿por qué sencillamente no caminas hacia esa puerta de una vez y ya?
Física y filosóficamente es un reto sumar infinitas cosas, pero el poder de las matemáticas es darle sentido a lo imposible.
Al producir un lenguaje para articular y manipular el infinito, puedes probar que después de infinitos pasos llegarás a tu destino.
Estas sumas infinitas se llaman series infinitas y Madhava investigó a fondo las conexiones entre estas series y la trigonometría.
Y se dio cuenta de que podía usar el mismo principio de sumar infinitas fracciones para resolver el misterio de uno de los números más importantes en matemáticas: pi (π).
El elusivo pi
Pi es la relación entre la circunferencia del círculo y su diámetro.
Es un número que aparece en todo tipo de matemáticas, pero es especialmente útil para los ingenieros, porque cualquier medida que involucre curvas pronto requiere pi.
Así que durante siglos, los matemáticos estuvieron en busca del valor preciso de pi.
Fue en India en el siglo VI que el matemático Aryabhata dio una aproximación muy precisa para pi: 3,1416.
Al usarla para medir la circunferencia de la Tierra, llegó a la conclusión de que tiene 39.968 kilómetros, una cifra muy cercana de la verdadera: 40.075 km.
No obstante, Madhava se dio cuenta que, al sumar y restar sucesivamente diferentes fracciones, era posible determinar una fórmula exacta para pi.
Esa es la fórmula que a muchos les enseñan en la universidad como descubierta por el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz del siglo XVII.
Pero en realidad, fue descubierta dos siglos antes en Kerala.
Madhava continuó utilizando el mismo tipo de matemáticas para obtener expresiones de series infinitas para la fórmula sinusoidal en trigonometría.
Y lo maravilloso es que hoy puedes usar estas fórmulas para calcular el seno de cualquier ángulo con cualquier grado de precisión.
Parece increíble que los indios hayan hecho estos descubrimientos siglos antes que los matemáticos occidentales.
Dice mucho sobre la actitud en Occidente hacia las culturas no occidentales que a menudo presenta sus descubrimientos como propios.
Recién ahora, a principios del siglo XXI, que la historia se está reescribiendo.
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